ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΘΕ ΕΞΙΣΩΣΗ Η ΟΠΟΙΑ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΜΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ χ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y(x)=y ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΤΗΣ y ΩΣ ΠΡΟΣ χ.ΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ χ ΤΗΝ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΕΝΩ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΤΗΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ y ΤΗΝ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ.


ΤΑΞΗ ΜΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΗΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Η ΟΠΟΙΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΕ ΑΥΤΗΝ.


ΓΕΝΙΚΗ ΛΥΣΗ  ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΚΑΘΕ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ Η ΟΠΟΙΑ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ν  ΑΥΘΑΙΡΕΤΕΣ ΣΤΑΘΕΡΕΣ.


ΑΣ ΔΟΥΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ:

1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΘΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η ΟΠΟΙΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΑΡΕΙ ΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΗ ΜΟΡΦΗ ΛΕΓΕΤΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.


Μ(x)dx+N(y)dy=0     (1)


Η ΓΕΝΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΗΣ (1) ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΜΕΣΩΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ.

∫ Μ(x)dx+∫ N(y)dy=c  ΟΠΟΥ c ΑΥΘΑΙΡΕΤΗ ΣΤΑΘΕΡΑ.

  2.   ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ

ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 'Η ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΟΜΟΓΕΝΗΣ ν ΒΑΘΜΟΥ ΟΤΑΝ ΓΙΑ ΚΑΘΕ λєR* ΕΧΟΥΜΕ ΤΗΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ

φ(λχ,λψ,...)=λ^ν*φ(χ,ψ,...)

ΚΑΘΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η ΟΠΟΙΑ ΕΧΕΙ 'Η ΜΕ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΑΡΕΙ ΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΗ ΜΟΡΦΗ Μ(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) ΟΠΟΥ ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μ,Ν ΕΙΝΑΙ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΤΟΥ ΑΥΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ Χ ΚΑΙ Υ ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ.

ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΕΤΟΙΟΥ ΕΙΔΟΥΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΑ ΑΚΟΛΟΥΘΑ ΒΗΜΑΤΑ

• ΘΕΤΟΥΜΕ u=y/x <=>y=ux<=> dy=udx+xdu
• ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΟΥΜΕ ΣΤΗΝ (1) ΤΑ y ΚΑΙ dy ΜΕ ΤΑ ΙΣΑ ΤΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕ ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΜΕ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

3.   ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΑΓΟΜΕΝΕΣ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 

Η ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΑΥΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΙΝΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΗ

y'=f(ax+by+g)/(dx+ey+h))