ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 1

ΦΥΣΙΚΗ Ι  (17-2-2012)

1Α. Σώμα μάζας m κινείται σε λεία ευθύγραμμη σήραγγα, που ενώνει δύο σημεία της επιφάνειας της Γης. Η σήραγγα ανήκει σε κατακόρυφο επίπεδο, που διέρχεται από το κέντρο K της Γης (βλ. και διπλανό σχήμα). Αποδείξτε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και βρείτε την περίοδο του. Δίνονται η μάζα της Γης Μ, η ακτίνα της Γης R και η σταθερά G.

1Β. Βρείτε (α) την απόσταση από το κέντρο της Γης, ώστε η επιτάχυνση της βαρύτητας σώματος μάζας m, το οποίο βρίσκεται σε κυκλική τροχιά, να είναι το 1/3 της επιτάχυνσης στην επιφάνεια της Γης καθώς και (β) την ταχύτητα του σώματος στην απόσταση αυτή.

Δίνονται η μάζα της Γης (M=5.98·10²⁴Kg), η ακτίνα της Γης (R=6.38·10⁶m) και η σταθερά G=6.67·10^-11N·m²/Kg² )

2Α. Εξηγείστε πώς ο Αρχιμήδης βρήκε την απάντηση στο ερώτημα του τυράνου των Συρακουσών Ιέρωνα, που του ζήτησε να ερευνήσει αν το χρυσό στέμμα του (δεδομένου βάρους W) είχε ή όχι νοθευτεί με φθηνότερο μέταλο, χωρίς όμως να καταστραφεί κατά την εξέταση.

2Β. Παρατηρητής κινείται με ταχύτητα ¾ c, και στέλνει παλμό ακτίνας Laser διάρκειας Δt=10^-12s σε ακίνητο παρατηρητή, που βρίσκεται σε απόσταση L=10⁵Km. Βρείτε α) σε πόσο χρόνο θα φθάσει ο παλμός στον ακίνητο παρατηρητή και β) ποιά θα είναι η διάρκεια του παλμού για τον ακίνητο παρατηρητή?

3. Κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R είναι αρχικά ακίνητος στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους h. Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, όταν ο κύλινδρος φτάσει στη βάση του επιπέδου, αν ο κύλινδρος κατά την κίνησή του κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Χαράξτε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του h και σχολιάστε. Δίδεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου προς τον άξονα του Ι=(1/2)mR²

4. Μικρή μεταλλική φιάλη γεμάτη αέριο υπό πίεση μάζας m_o κινείται χωρίς τριβές δεμένη σε σταθερό σημείο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, με αβαρές νήμα μήκους L, διαγράφοντας κυκλική τροχιά και έχοντας ταχύτητα v_o. Στη φιάλη δημιουργείται στο πίσω μέρος της μικρή οπή από όπου εξέρχεται μάζα σύμφωνα με τη σχέση m(t)=m_o(1-αt) με σχετική ταχύτητα u ως προς αυτή (η  μάζα εκτοξεύεται πάντα αντίθετα προς τη φορά της ταχύτητας του σώματος). Υπολογήστε, εξηγώντας τις σχέσεις που χρησιμοποιείτε, (α) τη ταχύτητα της φιάλης v(t)  και (β) την τάση του νήματος Τ(t) αμφότερα σα συνάρτηση του χρόνου (γ) χαράξτε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας v(t) με το χρόνο.  Η σταθερά α>0 είναι γνωστή

ΓΡΑΨΤΕ ΚΑΙ ΤΑ 4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΘΕΜΑΤΑ      

ΦΥΣΙΚΗ Ι (2-5-2011)

Πτυχιακή 6-9μμ

Θέμα 1.  Σώμα μάζας m βάλεται, στο πεδίο βαρύτητας της γης, από σημείο Ο υπό γωνία φ και η αρχική του ταχύτητα είναι υ₀. Να βρεθεί το διάνυσμα της στροφορμής ως προς το σημείο Ο σαν συνάρτηση του χρόνου. Δεν υπάρχουν τριβές αέρα.

Θέμα 2.  Δορυφόρος κινείται σε κυκλική τροχιά γύρο από τη Γη (Μ_Γ=6x10²⁴ kg). (α) Αποδείξτε τη σχέση μεταξύ της περιόδου και της ακτίνας Τ²=Κ_SR³ της τροχιάς (δηλ. ο 3^ος νόμος του Kepler), (β) Βρείτε την αριθμητική τιμή του K_S με τις μονάδες του (γνωστό είναι και το G=6.7x10^-11Nm²/kg²) και (γ) εάν το ύψος Η=200km πάνω από την επιφάνεια της γής, προσδιορίστε τη ταχύτητα του δορυφόρου (R_ΓΗΣ=6400km)

Θέμα 3. Πύραυλος αιωρείται στον αέρα και σε σταθερό ύψος από την επιφάνεια της γης εκτοξεύοντας αέρια με σταθερή ταχύτητα u, με κατάλληλη ρύθμιση της κατανάλωσης των καυσίμων του στη μονάδα του χρόνου (dm/dt). Εάν η αρχική συνολική του μάζα είναι Μ και τα καύσιμα m₀ να βρεθεί (α) πόσο χρόνο ο πύραυλος θα συγκρατείται σε αυτό το ύψος και (β) ποια μάζα μ(t) πρέπει να εκτοξεύει ο πύραυλος κάθε δευτερόλεπτο για να παραμείνει στο ίδιο ύψος? Τεκμηριώστε τις σχέσεις που χρησιμοποιείτε.

Θέμα 4. Σε ύψος Η στη κορυφή κεκλιμμένου επιπέδου, στο σημείο Α (βλέπε σχήμα), βρίσκεται σφαίρα μάζας m και ακτίνας r και αφίνεται να κυλίσει από την ηρεμία. Στο κατώτατο σημείο Β η επίπεδη επιφάνεια  γίνεται κυλινδρική ακτίνας R<Η μέχρι το σημείο Γ. Ζητείται να βρείτε (α) τη ταχύτητα u_Γ στο σημείο Γ και (β) μέχρι σε ποιο ύψος h (σημείο Δ) θα φτάσει το σώμα?

Θέμα 5. Στα άκρα λεπτής ράβδου αβαρούς μάζας μήκους L είναι τοποθετημένα σωματίδιο μάζας Μ₁ και σφαίρα μάζας Μ₂ και ακτίνας R (Μ₂>Μ₁). Η ράβδος είναι στερεωμένη σε άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και μπορεί να εκτελεί ταλάντωση. Βρείτε (α) την εξίσωση της κίνησης (β) την περίοδο της ταλάντωσης για μικρές γωνίες και (γ) σχεδιάστε ποιοτικά τη περίοδο Τ σαν συνάρτηση του λόγου Μ₁/Μ₂ από 0 έως 1. Δίνεται η ροπή αδράνειας  για τη σφαίρα Ι_{σφαίρας}=2Μ₂R²/5.

ΓΡΑΨΤΕ ΚΑΙ ΤΑ 5 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΘΕΜΑΤΑ 

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι

Περίοδος Σεπτέμβριου 2011

ΘΕΜΑ 1^ο   Σώμα μάζας m, κινείται στο επίπεδο xy, σε τροχιά που περιγράφεται από τις εξισώσεις

y[t]=

Α) Δείξτε ότι η τροχιά είναι έλλειψη και προσδιορίστε τους δυο ημιάξονες της.

Β) Βρείτε την στροφορμή του σώματος, L=m (x dy/dt-y dx/dt) και δείξτε ότι διατηρείται.

Γ) Βρείτε την μέση κινητική ενέργεια Ε_av του σώματος σε μια περίοδο της τροχιάς

ΘΕΜΑ 2^ο Σώμα μάζας m κινείται στον άξονα των x, υπό την επίδραση δύναμης  F=-k x  (αρμονικός ταλαντωτής). Εάν στον χρόνο  t=0 το σώμα βρίσκεται στην θέση, x=x₀ και έχει ταχύτητα v=v₀

Α)Βρείτε την εξάρτηση της θέσης,  x=x(t) ,από τον χρόνο για κάθε χρονική στιγμή t και την περίοδο της κίνησης.

Β) Βρείτε την κινητική και δυναμική ενέργεια, Ε_κιν=1/2 mv², Ε_δυν=1/2 kx²  σαν συνάρτηση του χρόνου t και δείξτε ότι η ολική ενέργεια διατηρείται

Γ) Βρείτε την σχέση της μέσης κινητικής και μέσης δυναμικής ενέργειας σε μια περίοδο

της κίνησης.

ΘΕΜΑ 3^ο  Σωματίδιο μάζας  ηρεμίας  m₀, κινείται σε κυκλικό επιταχυντή μήκους  L=30km,με ταχύτητα

V=4/5 c, (c=3x 10⁵ km/s)

Α) Υπολογίστε το μήκος του επιταχυντή στο σύστημα ηρεμίας του σωματιδίου

Β) Πόσος χρόνος περνάει στο σύστημα ηρεμίας του σωματιδίου όταν αυτό έχει διανύσει   10⁶  περιφορές στον επιταχυντή?

Γ) Ένα δεύτερο σωματίδιο κινείται στον επιταχυντή  σε αντίθετη φορά από το πρώτο και με την ίδια ταχύτητα. Ποια είναι η ταχύτητα του δεύτερου σωματιδίου στο σύστημα ηρεμίας του πρώτου?

ΘΕΜΑ 4^ο Κύλινδρος μάζας m βρίσκεται πάνω σε δύο οριζόντιες σανίδες. Στο κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου ασκείται κατακόρυφη δύναμη F (βλ. Σχήμα με προοπτική  θεώρηση, οι σανίδες είναι οριζόντιες)

Α) Πόση πρέπει να είναι η F ώστε ο κύλινδρος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και σανίδων είναι μ<2/3?

Β) Με ποια επιτάχυνση θα κινείται τότε ο άξονας του κυλίνδρου?

Δίδεται η ροπή αδράνειας κυλίνδρου ως προς τον άξονά του I_κυλ=mR²/2

ΓΡΑΨΤΕ ΚΑΙ ΤΑ 4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΦΥΣΙΚΗ 1

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ  ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

Η ΤΑΧΗΤΥΤΑ ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΣΧΕΣΗ  u=dx/dt ΕΝΩ Η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΣΧΕΣΗ γ=du/dt.Η ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΣΚΕΙΤΑΙ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΣΩΜΑ ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΣF=mγ 

ΑΣ ΔΟΥΜΕ ΤΩΡΑ ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

ΕΣΤΩ ΟΤΙ Η ΘΕΣΗ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Κ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ χ  ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΣΧΕΣΗ x(t)=2t³-2t²+5.ΝΑ ΒΡΕΘΕΟΥΝ:

1. Η ΤΑΧΥΤΗΤΑ 
2. Η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ
3. Η ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΣΚΕΙΤΑΙ ΣΤΟ ΣΩΜΑ ΑΝ ΑΥΤΟ ΕΧΕΙ ΜΑΖΑ m

1.u=dx/dt ==>u(t)=6t²-4t

2.γ=du/dt ==>γ(t)=12t-4

3.ΣF=mγ ==>ΣF=12mt-4m

ΑΣ ΔΟΥΜΕ ΤΩΡΑ ΕΝΑ ΑΛΛΟ ΠΑΡΑΔΕΟΓΜΑ

ΕΝΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΜΑΖΑΣ m ΚΙΝΕΙΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΙΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ F Η ΟΠΟΙΑ ΕΧΕΙ ΜΕΤΡΟ ΙΣΟ ΜΕ bmt² ΟΠΟΥ b ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΘΕΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ.ΑΝ ΑΡΧΙΚΑ ΤΟ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΑΚΙΝΝΗΤΟ ΤΟΤΕ Α ΒΡΕΘΕΙ Η ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ Η ΘΕΣΗ ΤΟΥ ΤΗΝ ΤΥΧΑΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ t

ΣF=mγ

bmt²=mγ ==>

γ=bt² ==>

du/dt=bt² ==>

du=bt²dt ==>

∫du=b∫t²dt ==>

u=bt³/3+c

ΟΜΩΣ ΓΙΑ t=0 u=0 ΑΡΑ c=0 

ΤΕΛΙΚΑ :u=bt³/3

u(t)=bt³/3 ==>

dx/dt=bt³/3 ==>

dx=(bt³/3)dt ==>

 ∫dx= b∫(t³/3)dt ==>

x=(bt^4)/12+g

OMΩΣ ΓΙΑ t=0 x=0 ΑΡΑ g=0

ΤΕΛΙΚΑ 

x=(bt^4)/12