ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ( ΘΕΩΡΙΑ)

       
  Η γεωµετρική παράσταση των αριθμών

 Θεωρούµε δύο διαφορετικά σηµεία O και E, το E δεξιά του O, πάνω σε µια ευθεία X ′X . Μπορούµε να θεωρήσουµε τους πραγµατικούς αριθµούς σαν τα σηµεία αυτής της ευθείας. Η διαισθητική εικόνα που έχουµε στο µυαλό µας είναι να αντιστοιχίσουµε σε κάθε σηµείο M της X ′X την απόσταση του M από το O, αν το M βρίσκεται δεξιά από το O και πάρουµε το OE για µονάδα.   

 Η µελέτη των πραγµατικών αριθµών αρχίζει συνήθως µε το σύνολο N των φυσικών αριθµών 1, 2, 3, 4, . . . Το άθροισµα και το γινόµενο δύο φυσικών είναι πάντοτε ένας φυσικός αριθµός. Αν στους φυσικούς επισυνάψουµε το 0 και τους αντίθετούς τους, παίρνουµε το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών 0, ±1, διαφορά δύο ακεραίων είναι πάντοτε ένας ακέραιος αριθµός. Αν στους ακεραίους επισυνάψουµε και όλα τα κλάσµατα m/n, όπου m, n ακέραιοι και n = 0,τότε παίρνουµε το σύνολο Q των ρητών αριθµών. Εκτός του αθροίσµατος, του γινοµένου και της διαφοράς τώρα και το πηλίκο  δύο ρητών q/r, όπου r = 0, είναι πάντοτε ρητός αριθµός.Απλές γεωµετρικές κατασκευές στο επίπεδο δίνουν τη γεωµετρική παράσταση των ρητών αριθµών.

Η γεωμετρική αναπαράσταση του R.
Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί αναπαρίστανται από σημεία ευθείας ως εξής. Θεωρούμε αυθαίρετη
ευθεία γραμμή και ξεχωρίζουμε αυθαίρετο σημείο της Ο, το οποίο αναπαριστά τον αριθμό 0, και
δεύτερο αυθαίρετο σημείο Ι, το οποίο αναπαριστά τον αριθμό 1. Η απόσταση του Ι από το Ο
παίζει τον ρόλο της μονάδας μέτρησης αποστάσεων πάνω στην ευθεία. Τώρα, κάθε άλλος αριθμός x
αναπαρίσταται από το αντίστοιχο σημείο Χ της ευθείας το οποίο βρίσκεται στην ίδια μεριά του Ο
στην οποία βρίσκεται και το Ι, αν x > 0, και στην αντίθετη μεριά του Ο, αν x < 0, και του οποίου
η απόσταση από το Ο είναι ίση με jxj. Επομένως, κάθε σημείο της ευθείας αναπαριστά ακριβώς
έναν αριθμό και κάθε αριθμός αναπαρίσταται από ακριβώς ένα σημείο της ευθείας. Άρα τα σημεία
της ευθείας είναι σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τους αριθμούς.





Κάθε ευθεία που χρησιμοποιούμε για να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς την ονομάζουμε πραγ-
ματική ευθεία και στο εξής δε θα κάνουμε διάκριση ανάμεσα στο οποιοδήποτε σημείο Χ μιας πραγ-
ματικής ευθείας και στον αριθμό x που αναπαρίσταται από το σημείο αυτό. Θα λέμε το σημείο x
καθώς και ο αριθμός x. Επίσης, θα λέμε ρητά σημεία και ακέραια σημεία της πραγματικής ευθείας.



Σηµείωση 1.1. Χωρίς αυτό να αποτελεί αυστηρό µαθηµατικό ορισµό της έννοιας, µπορούµε να πούµε ότι
µια συλλογή καθορισµένων αντικειµένων ϑεωρούµενη αυτή καθαυτή ως νέο αντικείµενο καλείται σύνολο.
Τα αντικείµενα που απαρτίζουν ένα σύνολο καλούνται στοιχεία του συνόλου.
Σηµείωση 1.2. Αν το στοιχείο a ανήκει στο σύνολο E, τότε γράφουµε a 2 E, ενώ αν δεν ανήκει γράφουµε
a =2 E.
Ορισµός 1.3. Ας είναι A και B δυο σύνολα.
1. Αν κάθε στοιχείο του A είναι και στοιχείο του B, τότε το A καλείται υποσύνολο του B, το B καλείται
υπερσύνολο του A και συµβολίζουµε A µ B ή ισοδύναµα B ¶ A.
2. Αν κάθε στοιχείο του A είναι και στοιχείο του B και ταυτόχρονα κάθε στοιχείο του B είναι και στοιχείο
του A, τότε τα σύνολα A και B καλούνται ίσα και συµβολίζουµε A = B. Στην αντίθετη περίπτωση
γράφουµε A =6 B.
3. Αν A µ B και ταυτόχρονα A =6 B, τότε το A καλείται γνήσιο υποσύνολο του B, το B γνήσιο υπερσύνολο
του A και συµβολίζουµε A ½ B ή ισοδύναµα B ¾ A.
Σηµείωση 1.4. 1. ∆εχόµαστε ότι υπάρχει ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Το σύνολο αυτό
καλείται κενό και συµβολίζεται µε ;. ∆εχόµαστε επίσης ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε
συνόλου.
2. Αν ένα σύνολο αποτελείται από ένα και µόνο στοιχείο a, τότε αυτό το σύνολο καλείται µονοσύνολο και
συµβολίζεται ως fag.
Ορισµός 1.5. Ας είναι A και B δυο σύνολα.
1. Τοµή των A και B καλείται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων και
συµβολίζεται ως A \ B.
2. ΄Ενωση των A και B καλείται το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία και των δυο συνόλων και
συµβολίζεται ως A [ B.
3. ∆ιαφορά του B από το A, µε αυτή τη σειρά, καλείται το σύνολο που αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία
του B τα οποία δεν ανήκουν στο A και συµβολίζεται ως BnA.
Σηµείωση 1.6. 1. Η τοµή δυο συνόλων που δεν έχουν κοινά στοιχεία είναι το κενό σύνολο.
2. Η ένωση δυο συνόλων, από τα οποία τουλάχιστον το ένα είναι µη κενό, είναι επίσης µη κενό σύνολο.
3. Αν A µ B, τότε AnB = ;

Είναι φανερό από τον κανόνα αντιστοίχισης αριθμών και σημείων ότι η απόσταση κάθε σημείου

x της πραγματικής ευθείας από το σημείο 0 είναι ίση με jxj. Επίσης, γενικότερα, γνωρίζουμε ότι η

απόσταση οποιωνδήποτε σημείων x; y της πραγματικής ευθείας είναι ίση με jx  yj.

Τέλος, γνωρίζουμε τη σχέση των ανισοτήτων ανάμεσα σε αριθμούς με τη διάταξη των αντίστοιχων

σημείων της πραγματικής ευθείας: είναι x < y αν και μόνο αν τα σημεία x; y έχουν την ίδια διάταξη

με τα σημεία 0; 1, αντιστοίχως. Δηλαδή, αν η ευθεία είναι οριζόντια και το σημείο 1 είναι δεξιά του

σημείου 0, τότε: είναι x < y αν και μόνο αν το σημείο y είναι δεξιά του σημείου x. Αν η ευθεία

είναι κατακόρυφη και το σημείο 1 είναι πάνω από το σημείο 0, τότε: είναι x < y αν και μόνο αν

το σημείο y είναι πάνω από το σημείο x.

Εμείς θα ακολουθούμε τη συνήθη πρακτική: για τη γεωμετρική αναπαράσταση των αριθμών

θα χρησιμοποιούμε οριζόντια ευθεία με το σημείο 1 δεξιά του σημείου 0. Εναλλακτικά, όταν χρεια-

ζόμαστε και δεύτερη ευθεία – για παράδειγμα, όταν σχεδιάζουμε γραφήματα συναρτήσεων – θα

χρησιμοποιούμε και κατακόρυφη ευθεία με το σημείο 1 πάνω από το σημείο 0.

Η Αρχιμήδεια Ιδιότητα.


Αν έχουμε δυο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη 1 και b, τότε, αν πάρουμε έναν αρκετά μεγάλο
αριθμό αντιγράφων του πρώτου και τα κολλήσουμε το ένα μετά το άλλο πάνω στην ίδια ευθεία, το
ευθ. τμήμα που θα προκύψει θα έχει μήκος μεγαλύτερο από το μήκος του δεύτερου ευθ. τμήματος.
Το πόσο μεγάλο αριθμό αντιγράφων χρειαζόμαστε εξαρτάται, φυσικά, από το μέγεθος του δεύτερου
ευθ. τμήματος σε σχέση με τη μονάδα μέτρησης αποστάσεων. Η μαθηματική έκφραση αυτής της
εμπειρικά προφανούς ιδιότητας είναι: για κάθε b > 0 υπάρχει φυσικός n ώστε να είναι n 1 > b.
Είναι φανερό ότι αυτό ισχύει και για b 0 και, επομένως:

±2, . . . Το άθροισµα, το γινόµενο και (κατά αντίθεση προς τους φυσικούς) η

ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ


(ΑUB)=ΕΙΝΑΙ Η ΕΝΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΥ Α ΜΕ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Β
ΑΝ Α ΚΑΙ Β ΔΥΟ ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Χ ΤΟΤΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ χeΑ ΤΟΤΕ χeΧ


(Α-Β)=ΤΟ χ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΟ Α ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΟ Β
ΑxΒ=ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ


ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Α={α,β,γ) ΚΑΙ Β={δ,ε,ζ} ΤΟΤΕ
ΑχΒ={(α,δ),(α,ε),(α,ζ),(β,δ),( β,ε),(β,ζ),(γ,δ),(γ,ε),(γ,ζ)}                              


ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ Α ΣΤΟ Β ΕΝΑ ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ f ΤΟΥ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑχΒ


ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Α ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Β ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ FcAxB ΜΕ ΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ:
ΓΙΑ ΚΑΘΕ αeΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΝΑ beΒ ΜΕ (α,β)ef.
ΣΥΝΗΘΩΣ ΓΡΑΦΟΥΜΕ y=f(x).ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΟΤΙ ΤΟ χ ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΕΝΩ ΤΟ y ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ.


ΕΣΤΩ ΔΥΟ ΣΥΝΟΛΑ Χ,Ψ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F:Χ-->Ψ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ  ΙΔΙΟΤΗΤΑ
ΓΙΑ ΚΑΘΕ χeΧ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΝΑ ψeΨ ΩΣΤΕ :(χ,ψ)eF
ΣΥΝΙΘΩΣ ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΟΤΙ y=F(x)


ΟΠΩΣ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΙΝΑΙ ΕΦΟΔΙΑΣΜΕΝΟ ΜΕ ΔΥΟ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

• χ+ψ=ψ+χ
• ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΤΟΙΧΕΙΟ 0 ΤΕΟΙΟ ΩΣΤΕ χ+0=0+χ ΚΑΙ ΛΕΓΕΤΑΙ ΟΥΔΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ
• ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧeΡ ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ -χeR ΓΙΑ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ χ+(-χ)=0
• χ*ψ=ψ*χ
• ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ 1 ΓΙΑ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ χ*1=1*χ ΚΑΙ 1<>0
• ΓΙΑ ΚΑΘΕ χeR<>0 ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ χ^(-1) ΤΕΤΟΙΟ ΩΣΤΕ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ χ*χ^(-1)=1
• (χ+ψ)+ζ=χ+(ψ+ζ)  χ*(ψ*ζ)=(χ*ψ)*ζ  ΓΙΑ ΚΑΘΕ χ,ψ,ζ eR.
• ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΧΕΙ ΠΛΗΡΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΑΦΟΥ:

(χ1,ψ1)>=(χ2,ψ2) ΑΝ χ1>χ2 και ψ1>ψ2 με χ1,χ2,ψ1,ψ2eR

                                                                                                                                            ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

ΑΝ ΣΤΟΥΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ 1,2,3,......ν,ν+1 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α1,α2,α3,...αν,αν+1 ΤΟΤΕ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ α:Ν*-->R ΠΟΥ ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΖΕΤΑΙ ΜΕ αν ΜΕ ω=1,2,3......Ο αν ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΝΙΟΣΤΟΣ ΟΡΟΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ.


                        ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

• ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΛΕΓΕΤΑΙ ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΟΤΑΝ ν ΑΝΗΚΕΙ Ν* ΚΑΙ Αν+1>Αν
• ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΛΕΓΕΤΑΙ ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΟΤΑΝ ν ΑΝΗΚΕΙ Ν* ΚΑΙ Αν+1<Αν
• ΑΥΞΟΥΣΑ ΛΕΓΕΤΑΙ ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΟΤΑΝ ν ΑΝΗΚΕΙ Ν* ΚΑΙ Αν+1>=Αν
•  ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΛΕΓΕΤΑΙ ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΟΤΑΝ ν ΑΝΗΚΕΙ Ν* ΚΑΙ Αν+1<=Αν

Η ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΤΡΟΠΟΥΣ

• ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ Αν+1-Αν
• ΑΝ ΟΙ ΟΡΙ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΕΧΟΥΝ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΤΕ ΒΡΗΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΠΗΛΙΚΟ Αν+1/Αν ΚΑΙ ΤΟ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΜΕ ΤΟ 1 
• ΑΝ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΕΠΑΓΩΓΙΚΑ ΤΟΤΕ  ΑΠΟΔΕΙΚΝΙΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Αν+1>Αν ή Αν+1<Αν
• 
  

                   ΦΡΑΓΜΕΝΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΛΕΓΕΤΑΙ :

• ΑΝΩ ΦΡΑΓΜΕΝΗ ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Μ ΤΕΤΟΙΟΣ ΩΣΤΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ Ν ΑΝΗΚΕΙ Ν*ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ Αν<=Μ
• ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΕΝΗ ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Μ ΤΕΤΟΙΟΣ ΩΣΤΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ Ν ΑΝΗΚΕΙ Ν*ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ Αν>=Μ
• ΦΡΑΓΜΕΝΗ ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΩΣ ΑΝΩ ΚΑΙ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΕΝΗ

ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Αν ΕΙΝΑΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ ΜΟΝΟ ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Θ>Ο  ΩΣΤΕ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ |Αν|<=Θ


                      ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ


ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Αν ΛΕΜΕ ΟΤΙ ΕΧΕΙ ΟΡΙΟ  L ΑΝΗΚΕΙ R ΚΑΙ ΓΡΑΦΟΥΜΕ :
limAv=L ή Av-->L  ΟΤΑΝ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ε>0 ΥΠΑΡΧΕΙ ΦΥΣΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ κ ΩΣΤΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ν>κ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ |Αν-L||<ε
ΤΟ ΟΡΙΟ ΚΑΘΕ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΕΙΝΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟ.
ΑΡΚΕΤΕΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΤΟ ΟΡΙΟ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ.