Τρίτη, 24 Ιανουαρίου 2012

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (ΘΕΩΡΙΑ)


                     Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 



ΑΝ ΡΙΞΟΥΜΕ ΕΝΑ ΖΑΡΙ 1 ΦΟΡΑ ΤΟΤΕ ΤΑ ΔΥΝΑΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ 1,2,3,4,5,6.Η ΡΙΨΗ ΤΟΥ ΖΑΡΙΟΥ ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ω={1,2,3,4,5,6}
ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ.
ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΤΑ ΕΞΙ ΔΥΝΑΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΜΟΝΟ ΤΑ ΜΕΡΙΚΑ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΟΝΟΜΑΖΟΝΤΑΙ <ΕΥΝΟΙΚΑ>
ΔΗΛΑΔΗ Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΣΥΜΒΕΙ ΤΟ ΓΕΓΟΝΟΣ Α ΕΙΝΑΙ 
Ρ(Α)=Ν(Α)/Ν(Ω) ΠΟΛΛΕΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΤΟ Γ ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ
Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΟΥΜΕ 6 ΟΤΑΝ ΡΙΞΟΥΜΕ ΕΝΑ ΖΑΡΙ ΕΙΝΑΙ 1/6

ΕΝΩΣΗ ΣΥΝΟΛΩΝ :ΑΝ Α ΚΑΙ Β ΔΥΟ ΣΥΝΟΛΑ ΤΟΤΕ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Γ=ΑUB ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΕΝΩΣΗ ΤΩΝ Α,Β ΚΑΙ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ΟΤΑΝ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ Α,Β 

ΤΟΜΗ ΣΥΝΟΛΩΝ :ΑΝ Α,Β ΔΥΟ ΣΥΝΟΛΑ ΤΟΤΕ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Γ=Α(τομη)Β ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΤΗΝ ΤΟΜΗ ΤΩΝ Α,Β ΚΑΙ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ΜΟΝΟ ΟΤΑΝ ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ ΤΑ ΑΚ ΚΑΙ Β.


ΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Α,Β ΟΝΟΜΑΖΟΝΤΑΙ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ΟΤΑΝ Η ΤΟΜΗ ΤΟΥΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ ΔΗΛΑΔΗ ΟΤΑΝ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟΝ ΝΑ ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ.


ΟΡΙΣΜΟΣ:ΕΣΤΩ Α ΕΝΑ ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΕΝΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Ω.ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Α ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ Ω ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΟΥ Α ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Α ΚΑΙ ΣΥΧΝΑ ΣΥΜΒΟΛΙΖΕΤΑΙ Ά


ΑΣ ΔΟΥΜΕ ΤΩΡΑ ΕΝΑ ΑΡΚΕΤΑ ΒΑΣΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ:


ΑΝ Α,Β ΔΥΟ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΤΕ 
P(AUB)=Ρ(Α)+Ρ(Β)
TO ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΑΞΙΩΜΑ ΙΣΧΥΕΙ ΚΑΙ ΓΙΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΑΠΟ ΔΥΟ ΓΕΓΟΝΟΤΑ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ


ΑΚΟΜΑ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ ΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΟΥΜΕ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΙΝΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΗ:
Ρ(Ω)=1
Ρ(Α)+Ρ(Ά)=1
Ρ(Α)=1-Ρ(Ά)
ΓΕΝΙΚΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ ΟΤΑΝ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΑΝΗΚΟΥΝ ΣΤΟΝ ΙΔΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ ΤΟΤΕ:
Ρ(ΑUB)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-2Ρ(ΑΒ)


ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΡΙΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ 
Ρ(AUBUΓ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)+Ρ(Γ)-(Ρ(ΑΒ)+Ρ(ΑΓ)+Ρ(ΒΓ))+Ρ(ΑΒΓ)


ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΟΝΟΜΑΖΟΝΤΑΙ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Α,Β ΜΟΝΟ ΟΤΑΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α)Ρ(Β)


ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ


1.ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ                  

ΑΣ ΔΟΥΜΕ ΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ:ΜΕ ΕΝΑ ΧΩΝΙ ΡΙΧΝΟΥΜΕ ΠΟΛΛΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΕΝΑ ΑΥΛΑΚΙ ΑΒ.Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ dP ΝΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΕΝΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΣΕ ΕΝΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑ dx ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΣΗ χ ΕΤΣΙ Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΜΗΚΟΥΣ ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ ΜΕ dP/dx=f(x)

Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΤΟ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΝΑ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΤΟ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ χ=α ΚΑΙ χ=β ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ:
Ρ(α<χ<β)=S(α-β)[f(x)dx]
Η ΘΕΣΗ χ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΑΡΕΙ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΤΙΜΗ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ χ.ΚΑΙ ΘΑ ΛΕΜΕ ΟΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ.ΕΤΣΙ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ:
Ρ(α<χ<β)=Ρ(α<=χ<β)=Ρ(α<χ<=β)=Ρ(α<=χ<=β)=S(α-β)[f(x)dx]

  • Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ Ρ(Χ=χ) ΕΚΦΡΑΖΕΙ ΤΗΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Χ ΝΑ ΠΑΡΕΙ ΤΗΝ ΤΙΜΗ χ
  • Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ Ρ(α<χ<β) ΕΚΦΡΑΖΕΙ ΤΗΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Χ ΝΑ ΠΑΙΡΝΕΙ ΤΙΜΕΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΟ α ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΟ β
ΕΠΕΙΔΗ Η ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ χ ΠΑΙΡΝΕΙ ΤΙΜΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΑΞΙΝΑ χ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ:S(α-β)[f(x)dx]=1 ΑΥΤΗ Η ΣΧΕΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΤΙΣ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΦΟΡΕΣ ΤΗ ΔΙΕΞΟΔΟ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΕΙΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΥΜΕ.
ΑΚΟΜΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΦΑΝΕΣ ΟΤΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΕΙΝΑΙ ΘΕΤΙΚΗ ΔΗΛΑΔΗ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ f(χ)>=0.

2.ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

  ΕΣΤΩ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Χ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΙΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ f(χ).Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΩΣΤΕ ΚΑΠΟΙΑ ΩΣΤΕ Η ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Χ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ Ή ΙΣΗ ΚΑΠΟΙΑΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΤΙΜΗΣ α ΕΙΝΑΙ :
Ρ(χ<=α)=S(-ΑΠΕΙΡΟ-α)[f(x)dx]=F(α).ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΕΧΟΥΜΕ ΤΙΣ ΑΚΟΛΟΥΘΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ:
  • Η F(x) ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΟΥ ΣΥΝΕΧΗΣ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ χ 
  • Η ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗ ΤΗΣ F(x) ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ f(x): F΄(χ)=f(χ)
  • 0<=F(X)<=1
  • Η ΑΝΤΟΙΣΤΟΙΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΣΥΝΕΧΗΣ.

3.ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ



ΟΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΕΚΦΡΑΖΟΥΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΑΥΤΗΣ.



ΟΡΙΖΕΤΑΙ Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ g(x) ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΧΕΣΗ:
Ε[g(x)]=S(-ΑΠΕΙΡΟ-+ΑΠΕΙΡΟ)[g(x)f(x)dx] OΠΟΥ f(x) ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΤΙΜΗΣ χ.

ΟΡΙΖΕΤΑΙ Η ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΧΕΣΗ:
Ε[(χ-μ)^2]=S(-ΑΠΕΙΡΟ-+ΑΠΕΙΡΟ)[(χ-μ)^2f(x)dx] OΠΟΥ f(x) ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΤΙΜΗΣ χ.

ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ ΕΧΩ :σ=Τ_Ρ(var(x))

4.ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΣΤΗΝ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΕ ΕΝΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑ α<=χ<=β ΚΑΙ ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΞΩ ΑΠΟ ΑΥΤΟ ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ.

Η ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ (α,β) ΥΠΟΛΟΓΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΣΧΕΣΗ c=1/(β-α)
Η ΟΜΟΙΟΜΑΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ α<=χ<=β ΣΥΜΒΟΛΙΖΕΤΑΙ ΜΕ U(α,β).
ΚΑΙ ΟΤΑΝ ΘΕΛΟΥΜΕ ΝΑ ΓΡΑΨΟΥΜΕ ΟΤΙ Η ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Χ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ α<=χ<=β  ΤΟΤΕ ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΟΤΙ Χ~U(α,β).


5.ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΧΕΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ: 
  • f(x)=0 ΑΝ χ<0
  • f(x)=a*e^(-a*x)
ΟΠΟΥ α ΔΟΣΜΕΝΗ ΘΕΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ.ΚΑΙ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ :

S(-ΑΠΕΙΡΟ-+ΑΠΕΙΡΟ)[f(x)dx]=1

6.ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΙΝΑΙ ΟΠΟΩΣ ΟΛΟΙ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΜΙΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΠΟΥΔΑΙΟΤΕΡΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Η ΟΠΟΙΑ ΕΧΕΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ :
f(x)=[1/(σ*Τ_Ρ(2π)]*e^[-(χ-μ)^2/2*σ^2]
ΟΠΟΥ μ ΕΙΝΑΙ Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ σ Η ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΑΥΤΗΣ.ΣΥΧΝΑ ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΟΤΙ Χ~Ν(μ,σ^2) ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΔΙΑΒΑΖΕΤΑΙ :Η ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Χ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΚΑΝΙΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΕ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΙΣΗ ΜΕ μ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΙΣΗ ΜΕ σ^2.

ΑΝ c  ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΙΜΗ ΤΟΤΕ ΛΟΓΩ ΣΥΜΑΤΡΙΑΣ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ:
S(-ΑΠΕΙΡΟ--c)[f(x)dx]=S(C-AΑΠΕΙΡΟ)[f(x)dx]

ΑKOMA ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ Ρ(Χ<-C)=Ρ(Χ>C.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ι.    ΟΡΙΣΜΟΙ
1.Στατιστική: είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών, ο οποίος βασίζεται σε ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για:
               Τον σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων (data).
               Τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων.
     Την ανάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτων από τα δεδομένα.
            Η στατιστική είναι μια ατελής επαγωγή. Από τις ιδιότητες του μέρους εξάγει συμπεράσματα για το όλον.

2.Πληθυσμός (Population - Sample Space): είναι ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζονται ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

3.Μεταβλητή (Variable): ενός πληθυσμού είναι το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζεται ο πληθυσμός. Μεταβλητές είναι δύο ειδών, ποιοτικές ή ποσοτικές. Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς.

4.Συχνότητα (Frequency): μιάς τιμής χι  της μεταβλητής Χ μεγέθους νXΝ είναι ο φυσικός αριθμός νιXΝ,  νιν, που δείχνει το πλήθος εμφάνισης της τιμής χι .
Ισχύει προφανώς: ν12+ . . . +νμ

**********ME S(α-β) ΣΥΜΒΟΛΙΖΩ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΠΟ ΤΟ Α ΣΤΟ Β !!!!!!!!!

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου